Grazie di eserti registrato.
Il consiglio e il seguente:
Devi vedere come prima cosa se e' possibile suddividere le incognite in gruppi in modo che un gruppo sia il quadrato dell'altro: in questo modo puoi traformare la tua equazione in un'equazione di secondo grado:
risolvere
(x2 - 4x +8)2 - x2 + 4x = 28
se vado a sviluppare ottengo un'equazione di quarto grado
Osservo che prima dell'uguale il termine dentro parentesi e' quasi simile (a parte il segno) a quello fuori di parentesi: manca il numero 8, lo estraggo dal termine noto
(x2 - 4x +8)2 - x2 + 4x = 20 + 8
(x2 - 4x +8)2 - x2 + 4x - 8 = 20
adesso metto in evidenza il meno
(x2 - 4x +8)2 - (x2 - 4x +
= 20
Ora posso operare la sostituzione
x2 - 4x + 8 = y
e la mia equazione diventa
y2 - y = 20
y2 - y - 20 = 0
ottengo le soluzioni calcoli
y1 = -4 y2 = 5
adesso sostituisco i valori trovati alla y e devo risolvere le due equazioni x2 - 4x + 8 = -4 x2 - 4x + 8 = 5
Risolvo la prima
x2 - 4x + 8 = -4
x2 - 4x + 12 = 0
ottengo le soluzioni calcoli
x1 = 2 - 2i2 x2 = 2 + 2i2
Risolvo la seconda
x2 - 4x + 8 = 5
x2 - 4x + 3 = 0
ottengo le soluzioni calcoli
x1 = 1 x2 = 3
Ho quindi le soluzioni
x1 = 1 x2 = 3 x3 = 2 - 2i2 x4 = 2 + 2i2
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Naturalmente potevo eseguire i calcoli e poi risolvere l'equazione di quarto grado con il metodo delle equazioni abbassabili di grado, ma qui ti ho mostrato il metodo che puoi applicare anche quando non puoi utilizzare altri metodi:
pensa se le soluzioni fossero state 3, 27, 3/7 , 5/4
in tal caso e' un po' difficile usare il metodo di abbassare di grado
lo stesso ragionamento vale anche per l' equazione successiva che, se facessi i calcoli, si traformerebbe in una equazione trinomia di sesto grado
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Quando hai delle frazioni e' utile cercare di raggruppare tutte le incognite in termini uguali in modo da poterli sostituire mediante una y:
risolvere:
7
---------- +
x3 - 1 7x3 = 57
siccome sotto abbiamo x3-1 vediamo se possiamo trasformare anche l'altra x in modo che diventi x3-1
siccome davanti ad x3 ho il 7 devo togliere un 7; lo estraggo dal termine noto
7
---------- +
x3 - 1 7x3 = 50 + 7
7
---------- +
x3 - 1 7x3 - 7 = 50
ora metto in evidenza il 7 7
---------- +
x3 - 1 7(x3 - 1) = 50
adesso opero la sostituzione
x3 - 1 = y
ed ottengo
7
------ +
y 7y = 50
supponendo y diverso da zero posso fare il minimo comune multiplo
7 + 7y2
------------- =
y 50y
-------
y
elimino i denominatori
7 + 7y2 = 50y
7y2 - 50y + 7 = 0
ottengo le soluzioni calcoli
x1 1
= --------
7 x2 = 7
adesso sostituisco i valori trovati alla y e devo risolvere le due equazioni x3 - 1 = 1
---
7 x3 - 1 = 7
Risolvo la prima
x3 - 1 = 1
---
7
x3 = 1
---
7 + 1
x3 = 8
---
7
Cerco sia le radici reali che complesse x3 - 8
---
7 = 0
considero il polinomio associato e lo scompongo come differenza di cubi x3 8
- --- =
7 (x - 2
----
7 ) ( x2 2x
+ ---- +
7 4
------ )
72
uguagliando a zero devo risolvere le due equazioni
x 2
- ---- =
7 0 x2 2x
+ ---- +
7 4
------ =
72 0
risolvo la prima ed ottengo una soluzione reale
x1 = 2
----
7 0
la seconda mi dara' due soluzioni complese e coniugate
faccio il minimo comune multiplo x272 + 2x7 + 4
-------------------------- =
72 0
------
72
elimino i denominatori
x272 + 2x7 + 4 = 0
ottengo le soluzioni calcoli
x2 = -1 + i3
---------
7 x3 = -1 - i3
---------
7
Risolvo la seconda
x3 - 1 = 7
x3 = 8
Cerco sia le radici reali che complesse
considero il polinomio associato e lo scompongo come differenza di cubi
x3 - 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4)
uguagliando a zero devo risolvere le due equazioni
x - 2 = 0 x2 + 2x + 4 = 0
la prima mi da' la soluzione reale
x1 = 2
la seconda mi dara' due soluzioni complesse e coniugate
x2 + 2x + 4 = 0 ottengo le soluzioni calcoli
x2 = -1 - i3 x3 = -1 + i3
Ho quindi le 6 soluzioni
x1 = 2
----
7 x2 = -1 + i3
---------
7 x3 = -1 - i3
---------
7 x4 = 2 x5 = -1 - i3 x6 = -1 + i3
-----------------------------------------------------
PS. Il problema verà risolto a breve termine.
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